Passo a passo - Dia 3 (Determinantes e Adjunta)
Três métodos fixos: Laplace, Adjunta e Cramer. Veja o raciocínio geral de cada um, com um exemplo novo, antes de ir para os exercícios do Dia 3.
Método: Laplace passo a passo
Calcular um determinante \(n\times n\) (\(n\geq3\)) sempre segue o mesmo roteiro de 4 etapas.
Etapa 1: escolha a linha ou coluna com mais zeros
Isso não muda o resultado (o determinante é o mesmo por qualquer linha ou coluna), mas elimina termos da soma antes mesmo de calcular, economizando contas.
Etapa 2: para cada elemento não-nulo da linha/coluna escolhida, monte o menor complementar
O menor complementar \(A_{ij}\) é a matriz que sobra ao apagar a linha \(i\) e a coluna \(j\) daquele elemento.
Etapa 3: aplique o sinal do cofator
\[\Delta_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\]
Calcule sempre \((-1)^{i+j}\) explicitamente antes de multiplicar - é o passo onde mais se erra.
Etapa 4: some tudo
\[\det A=\sum_{j} a_{ij}\Delta_{ij}\]
(soma só sobre a linha/coluna escolhida na Etapa 1).
Exemplo: calcule \(\det A\) para \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&-1\\4&1&2\end{pmatrix}\)
1. Escolha a linha/coluna com mais zeros
A linha 1 é \((1,0,0)\): tem dois zeros! Expandindo por ela, só o termo com \(a_{11}=1\) sobrevive.
2. Monte o menor complementar \(A_{11}\)
Apague a linha 1 e a coluna 1: sobra \(\begin{pmatrix}3&-1\\1&2\end{pmatrix}\).
\[\det A_{11}=3\cdot2-(-1)\cdot1=6+1=7\]
3. Aplique o sinal
\(\Delta_{11}=(-1)^{1+1}\cdot7=(+1)\cdot7=7\)
4. Some (só o termo \(a_{11}\) sobrevive)
\[\det A=a_{11}\Delta_{11}=1\cdot7=7\]
Resposta final do exemplo: \(\det A=7\)
Método: adjunta e inversa
Depois de saber calcular cofatores (Laplace), a adjunta é só mais um passo: calcule TODOS os \(n^2\) cofatores, monte a matriz de cofatores e transponha.
Passo 1: calcule todos os cofatores \(\Delta_{ij}\), um para cada posição
Use a mesma fórmula \(\Delta_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\) para cada uma das \(n\times n\) posições da matriz (não só para a linha/coluna escolhida no Laplace).
Passo 2: monte a matriz de cofatores
Coloque cada \(\Delta_{ij}\) exatamente na posição \((i,j)\), formando \(\overline{A}\).
Passo 3: transponha para obter a adjunta ARMADILHA
\(\operatorname{adj}A=\overline{A}^t\). Esquecer de transpor é o erro mais comum desta questão - a matriz de cofatores NÃO é a resposta final.
Passo 4: divida pelo determinante
\[A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A\]
Exemplo: continuando a matriz anterior, calcule \(\operatorname{adj}A\) e \(A^{-1}\)
Mesma \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&-1\\4&1&2\end{pmatrix}\), com \(\det A=7\) já calculado acima.
1. Calcule os 9 cofatores
\[\Delta_{11}=+\det\begin{pmatrix}3&-1\\1&2\end{pmatrix}=7,\quad \Delta_{12}=-\det\begin{pmatrix}2&-1\\4&2\end{pmatrix}=-(4+4)=-8,\quad \Delta_{13}=+\det\begin{pmatrix}2&3\\4&1\end{pmatrix}=2-12=-10\]
\[\Delta_{21}=-\det\begin{pmatrix}0&0\\1&2\end{pmatrix}=0,\quad \Delta_{22}=+\det\begin{pmatrix}1&0\\4&2\end{pmatrix}=2,\quad \Delta_{23}=-\det\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}=-1\]
\[\Delta_{31}=+\det\begin{pmatrix}0&0\\3&-1\end{pmatrix}=0,\quad \Delta_{32}=-\det\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=-(-1)=1,\quad \Delta_{33}=+\det\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}=3\]
2. Monte a matriz de cofatores e transponha
\[\overline{A}=\begin{pmatrix}7&-8&-10\\0&2&-1\\0&1&3\end{pmatrix} \;\Rightarrow\; \operatorname{adj}A=\overline{A}^t=\begin{pmatrix}7&0&0\\-8&2&1\\-10&-1&3\end{pmatrix}\]
3. Confira: \(A\cdot\operatorname{adj}A\) deve dar \(7\cdot I_3\)
Linha 1 de \(A=(1,0,0)\) vezes coluna 1 de \(\operatorname{adj}A\) \((7,-8,-10)\): \(7\); vezes coluna 2 \((0,2,-1)\): \(0\); vezes coluna 3 \((0,1,3)\): \(0\). Linha 1 do produto \(=(7,0,0)\), confere com a linha 1 de \(7I_3\).
4. Divida pelo determinante
\[A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}7&0&0\\-8&2&1\\-10&-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-8/7&2/7&1/7\\-10/7&-1/7&3/7\end{pmatrix}\]
Resposta final do exemplo: \(\operatorname{adj}A=\begin{pmatrix}7&0&0\\-8&2&1\\-10&-1&3\end{pmatrix}\), \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-8/7&2/7&1/7\\-10/7&-1/7&3/7\end{pmatrix}\)
Método: Regra de Cramer
Serve para resolver sistemas \(Ax=b\) com \(A\) quadrada e \(\det A\neq0\). O roteiro é sempre: calcule \(\det A\), depois troque UMA coluna de cada vez por \(b\) e divida.
Passo 1: confira que \(A\) é quadrada e calcule \(\det A\)
Se \(\det A=0\), Cramer não se aplica.
Passo 2: para cada incógnita \(x_i\), troque a coluna \(i\) de \(A\) pelos termos independentes \(b\)
Chame essa nova matriz de \(A_i\). Troque só UMA coluna por vez - nunca troque duas colunas na mesma matriz.
Passo 3: divida os determinantes
\[x_i=\frac{\det A_i}{\det A}\]
Exemplo: resolva \(\begin{cases}x+2y=8\\3x-y=3\end{cases}\)
1. Monte \(A\) e calcule \(\det A\)
\[A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}, \quad \det A=1\cdot(-1)-2\cdot3=-1-6=-7\]
2. Troque a coluna \(x\) por \(b=(8,3)\)
\[A_x=\begin{pmatrix}8&2\\3&-1\end{pmatrix}, \quad \det A_x=8\cdot(-1)-2\cdot3=-8-6=-14\]
\[x=\frac{-14}{-7}=2\]
3. Troque a coluna \(y\) por \(b\)
\[A_y=\begin{pmatrix}1&8\\3&3\end{pmatrix}, \quad \det A_y=1\cdot3-8\cdot3=3-24=-21\]
\[y=\frac{-21}{-7}=3\]
4. Confira nas equações originais
\(x+2y=2+6=8\) ✓; \(3x-y=6-3=3\) ✓.
Resposta final do exemplo: \(x=2\), \(y=3\)
Agora tente sozinho
Você acabou de ver os três métodos completos com exemplos novos. Volte para o Dia 3 e aplique o mesmo raciocínio nas questões, na ordem: Laplace, depois Adjunta, depois Cramer.