Bloco de 2h. Meta: dominar o método de Gauss-Jordan para calcular \(A^{-1}\) sem erro de conta.
Teoria: inversa e Gauss-Jordan
PRÉ-REQUISITO \(A\) quadrada de ordem \(n\) é invertível se existe \(B\) tal que \(AB=BA=I_n\). Denotamos \(B=A^{-1}\).
Explicando bem devagar
A inversa é o "oposto multiplicativo" de uma matriz, assim como \(\tfrac{1}{5}\) é o oposto de \(5\) na multiplicação de números. \(A\cdot A^{-1}\) "desfaz" \(A\), voltando para a identidade.
Operações elementares (linhas de \(A_{m\times n}\)):
Operação
Notação
Permutar linhas
\(L_i \leftrightarrow L_j\)
Multiplicar linha por escalar ≠ 0
\(L_i \to \alpha L_i\)
Substituição
\(L_i \to L_i + \alpha L_j\)
Método prático (Gauss-Jordan): monte a matriz ampliada \([A\,|\,I]\) e aplique operações elementares até o bloco esquerdo virar \(I\). O bloco direito vira \(A^{-1}\):
\[[A\,|\,I]\;\longrightarrow\;[I\,|\,A^{-1}]\]
ARMADILHA Se durante o escalonamento aparecer uma linha toda nula no bloco esquerdo, a matriz não é invertível - pare e conclua isso, não insista em "zerar" o que não pode.
Questão 1 - Inversa 2×2
Verifique se \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}\) é inversível e, se for, calcule \(A^{-1}\).
Dica Se o pivô da 1ª linha for 0, comece trocando linhas.
Gabarito - Questão 1
1. Monte a matriz ampliada
A ideia do Gauss-Jordan é colar a identidade \(I_2\) ao lado de \(A\) e aplicar as mesmas operações de linha nos dois blocos ao mesmo tempo, até o bloco esquerdo virar \(I_2\):
\[[A\,|\,I]=\left[\begin{smallmatrix}0&1&|&1&0\\1&2&|&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
2. Por que trocar de linha primeiro?
O elemento \(a_{11}=0\) (canto superior esquerdo). Não dá para usar uma linha com pivô 0 para "zerar" as outras - precisamos de um número diferente de zero ali. Como \(a_{21}=1\neq0\), trocamos as linhas:
\[L_1\leftrightarrow L_2:\quad \left[\begin{smallmatrix}1&2&|&0&1\\0&1&|&1&0\end{smallmatrix}\right]\]
Agora o pivô da linha 1 é 1, exatamente o que queremos.
3. Zere o resto da coluna 1
A coluna 1 já está pronta: \(a_{11}=1\) e \(a_{21}=0\) - nada a fazer aqui.
4. Zere o resto da coluna 2 (acima do pivô)
O pivô da linha 2 já é 1 (\(a_{22}=1\)). Falta zerar o \(2\) que está acima dele, na posição \(a_{12}\). Fazemos \(L_1\to L_1-2L_2\): subtraímos 2 vezes a linha 2 da linha 1, elemento a elemento:
\[\text{Linha 1: } (1,2\,|\,0,1) - 2\cdot(0,1\,|\,1,0) = (1-0,\;2-2\,|\,0-2,\;1-0) = (1,0\,|\,-2,1)\]
Resultado:
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&|&-2&1\\0&1&|&1&0\end{smallmatrix}\right]\]
O bloco esquerdo virou \(I_2\) - terminamos! O bloco direito é a inversa.
5. Confira multiplicando
Todo cálculo de inversa deve ser conferido: \(A\cdot A^{-1}\) tem que dar \(I_2\).
\[\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot(-2)+1\cdot1 & 0\cdot1+1\cdot0\\1\cdot(-2)+2\cdot1 & 1\cdot1+2\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\;✓\]
Resposta final: \(A\) é inversível e \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\1&0\end{pmatrix}\).
Questão 2 - Inversa 3×3
Encontre \(A^{-1}\) para \(A=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&3\\4&-3&8\end{pmatrix}\) via matriz ampliada \([A|I]\).
Gabarito - Questão 2
1. Monte a matriz ampliada \([A|I]\)
\[\left[\begin{smallmatrix}0&1&2&|&1&0&0\\1&0&3&|&0&1&0\\4&-3&8&|&0&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
Objetivo: transformar o bloco da esquerda em \(I_3\) usando operações de linha, aplicando sempre a mesma operação nos dois blocos.
2. Consiga um pivô 1 na coluna 1
\(a_{11}=0\), não serve como pivô. A linha 2 já tem \(1\) na primeira posição, então trocamos \(L_1\leftrightarrow L_2\):
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&3&|&0&1&0\\0&1&2&|&1&0&0\\4&-3&8&|&0&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
3. Zere o resto da coluna 1
A linha 3 tem \(a_{31}=4\). Para zerar, fazemos \(L_3\to L_3-4L_1\) (subtrai 4 vezes a linha 1, que já tem pivô 1, da linha 3):
\[(4,-3,8\,|\,0,0,1)-4\cdot(1,0,3\,|\,0,1,0)=(4-4,\,-3-0,\,8-12\,|\,0-0,\,0-4,\,1-0)=(0,-3,-4\,|\,0,-4,1)\]
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&3&|&0&1&0\\0&1&2&|&1&0&0\\0&-3&-4&|&0&-4&1\end{smallmatrix}\right]\]
4. Zere o resto da coluna 2
A linha 2 já tem pivô 1 em \(a_{22}\). A linha 1 tem \(0\) nessa coluna - ok. A linha 3 tem \(-3\); fazemos \(L_3\to L_3+3L_2\):
\[(0,-3,-4\,|\,0,-4,1)+3\cdot(0,1,2\,|\,1,0,0)=(0,0,-4+6\,|\,0+3,-4+0,1+0)=(0,0,2\,|\,3,-4,1)\]
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&3&|&0&1&0\\0&1&2&|&1&0&0\\0&0&2&|&3&-4&1\end{smallmatrix}\right]\]
5. Transforme o pivô da linha 3 em 1
\(a_{33}=2\), não é 1. Multiplicamos toda a linha 3 por \(\tfrac12\) (\(L_3\to \tfrac12 L_3\)):
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&3&|&0&1&0\\0&1&2&|&1&0&0\\0&0&1&|&3/2&-2&1/2\end{smallmatrix}\right]\]
6. Zere acima do pivô da coluna 3
Agora "subimos" eliminando os \(3\) e \(2\) que ficaram acima do pivô da coluna 3:
\(L_1\to L_1-3L_3\): \((1,0,3\,|\,0,1,0)-3\cdot(0,0,1\,|\,3/2,-2,1/2)=(1,0,0\,|\,-9/2,7,-3/2)\)
\(L_2\to L_2-2L_3\): \((0,1,2\,|\,1,0,0)-2\cdot(0,0,1\,|\,3/2,-2,1/2)=(0,1,0\,|\,-2,4,1)\)
7. Resultado final
O bloco esquerdo é \(I_3\) - pronto:
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&0&|&-9/2&7&-3/2\\0&1&0&|&-2&4&1\\0&0&1&|&3/2&-2&1/2\end{smallmatrix}\right]\]
O bloco direito é a inversa procurada.
Padrão geralPADRÃO Sempre trabalhe coluna por coluna, da esquerda para a direita: (1) consiga pivô 1, (2) zere abaixo dele, repita para todas as colunas, depois (3) zere acima de cada pivô de baixo para cima.
Considere \(A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&2&2\\1&-2&1\end{pmatrix}\). \(A\) é inversível? Calcule a inversa.
Gabarito - Questão 3
1. Matriz ampliada
\[[A|I]=\left[\begin{smallmatrix}1&-1&-1&|&1&0&0\\-1&2&2&|&0&1&0\\1&-2&1&|&0&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
A coluna 1 já tem pivô 1 na linha 1 - bom sinal, vamos usar a linha 1 para zerar as demais linhas dessa coluna.
2. Zere a coluna 1 usando a linha 1
\(L_2\to L_2+L_1\) (porque \(a_{21}=-1\), somar a linha 1 cancela): \((-1,2,2\,|\,0,1,0)+(1,-1,-1\,|\,1,0,0)=(0,1,1\,|\,1,1,0)\)
\(L_3\to L_3-L_1\) (porque \(a_{31}=1\), subtrair a linha 1 cancela): \((1,-2,1\,|\,0,0,1)-(1,-1,-1\,|\,1,0,0)=(0,-1,2\,|\,-1,0,1)\)
\[\left[\begin{smallmatrix}1&-1&-1&|&1&0&0\\0&1&1&|&1&1&0\\0&-1&2&|&-1&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
3. Zere a coluna 2 usando a linha 2 (pivô já é 1)
\(L_1\to L_1+L_2\) (cancela o \(-1\) de \(a_{12}\)): \((1,-1,-1\,|\,1,0,0)+(0,1,1\,|\,1,1,0)=(1,0,0\,|\,2,1,0)\)
\(L_3\to L_3+L_2\) (cancela o \(-1\) de \(a_{32}\)): \((0,-1,2\,|\,-1,0,1)+(0,1,1\,|\,1,1,0)=(0,0,3\,|\,0,1,1)\)
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&0&|&2&1&0\\0&1&1&|&1&1&0\\0&0&3&|&0&1&1\end{smallmatrix}\right]\]
Repare: a coluna 1 já ficou pronta e não muda mais.
4. Normalize o pivô da linha 3
\(a_{33}=3\); fazemos \(L_3\to L_3/3\): \((0,0,1\,|\,0,1/3,1/3)\)
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&0&|&2&1&0\\0&1&1&|&1&1&0\\0&0&1&|&0&1/3&1/3\end{smallmatrix}\right]\]
5. Zere acima do pivô da coluna 3
Só falta zerar o \(1\) na posição \(a_{23}\) (a coluna 3 na linha 1 já é 0). Fazemos \(L_2\to L_2-L_3\), subtraindo elemento a elemento:
\[(0,1,1\,|\,1,1,0)-(0,0,1\,|\,0,1/3,1/3)=\Big(0,\,1,\,1-1\,\Big|\,1-0,\;1-\tfrac13,\;0-\tfrac13\Big)=(0,1,0\,|\,1,\tfrac23,-\tfrac13)\]
Resultado final:
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&0&|&2&1&0\\0&1&0&|&1&2/3&-1/3\\0&0&1&|&0&1/3&1/3\end{smallmatrix}\right]\]
6. Confira multiplicando \(A\cdot A^{-1}\)ARMADILHA
Esse é o passo mais importante e evita perder pontos por erro de conta: pegue o bloco direito e multiplique por \(A\); tem que dar exatamente \(I_3\).
\[\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&2&2\\1&-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2/3&-1/3\\0&1/3&1/3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\;✓\]
(confira linha 1: \(1\cdot2+(-1)\cdot1+(-1)\cdot0=1\); \(1\cdot1+(-1)\cdot\frac23+(-1)\cdot\frac13=1-1=0\); \(1\cdot0+(-1)\cdot(-\frac13)+(-1)\cdot\frac13=0\) - bate com a linha 1 de \(I_3\).)
Resposta final: \(A\) é inversível, \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2/3&-1/3\\0&1/3&1/3\end{pmatrix}\).
No material original, esta questão também pedia a inversa de \(B=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&2&1\\0&2&0\end{pmatrix}\). Repita exatamente os 6 passos acima nela como treino cronometrado.
Questão 4 - Verificação por multiplicação (atalho)
Mostre que a inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&1\\1&0&1\end{pmatrix}\) é \(B=\begin{pmatrix}2/3&-1/3&1/3\\1/3&1/3&-1/3\\-2/3&1/3&2/3\end{pmatrix}\).
Gabarito - Questão 4
1. Por que NÃO escalonar aqui
A questão já te dá a suposta inversa \(B\) pronta. Refazer Gauss-Jordan do zero seria desperdiçar tempo de prova. Pela própria definição de inversa (\(AB=I\)), basta multiplicar e checar se dá a identidade.
2. Monte o produto \(A\cdot B\)
\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&1\\1&0&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}2/3&-1/3&1/3\\1/3&1/3&-1/3\\-2/3&1/3&2/3\end{pmatrix}\). Calcule cada elemento \(c_{ij}\) = linha \(i\) de \(A\) · coluna \(j\) de \(B\).
3. Linha 1 de \(A\cdot B\)
Linha 1 de \(A\) é \((1,1,0)\):
\[c_{11}=1\cdot\tfrac23+1\cdot\tfrac13+0\cdot(-\tfrac23)=\tfrac23+\tfrac13=1\]
\[c_{12}=1\cdot(-\tfrac13)+1\cdot\tfrac13+0\cdot\tfrac13=0\]
\[c_{13}=1\cdot\tfrac13+1\cdot(-\tfrac13)+0\cdot\tfrac23=0\]
Linha 1 de \(AB\) = \((1,0,0)\) - igual à linha 1 de \(I_3\). ✓
4. Linha 2 de \(A\cdot B\)
Linha 2 de \(A\) é \((0,2,1)\):
\[c_{21}=0\cdot\tfrac23+2\cdot\tfrac13+1\cdot(-\tfrac23)=\tfrac23-\tfrac23=0\]
\[c_{22}=0\cdot(-\tfrac13)+2\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac13=\tfrac23+\tfrac13=1\]
\[c_{23}=0\cdot\tfrac13+2\cdot(-\tfrac13)+1\cdot\tfrac23=-\tfrac23+\tfrac23=0\]
Linha 2 de \(AB\) = \((0,1,0)\). ✓
5. Linha 3 de \(A\cdot B\)
Linha 3 de \(A\) é \((1,0,1)\):
\[c_{31}=1\cdot\tfrac23+0\cdot\tfrac13+1\cdot(-\tfrac23)=0\]
\[c_{32}=1\cdot(-\tfrac13)+0\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac13=0\]
\[c_{33}=1\cdot\tfrac13+0\cdot(-\tfrac13)+1\cdot\tfrac23=1\]
Linha 3 de \(AB\) = \((0,0,1)\). ✓ Logo \(A\cdot B=I_3\), confirmando que \(B=A^{-1}\).
Padrão geralPADRÃO Quando a inversa já é dada pelo enunciado, não refaça o escalonamento do zero: calcule \(A\cdot B\) (ou \(B\cdot A\)) e verifique se dá \(I_3\). É bem mais rápido e igualmente rigoroso - ótima estratégia sob pressão de tempo de prova.
Converte letras em números (A=1,...,Z=26), agrupa em matriz mensagem \(M\), cifra com \(C=K\cdot M\) (chave \(K\) invertível) e decifra com \(M=K^{-1}\cdot C\). Condição: \(K\) precisa ter \(\det(K)\neq0\).
Exemplo completo - palavra "GATO"
Cifre e decifre "GATO" usando a chave \(K=\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}\).
Gabarito - Cifra de Hill
1. Converta a palavra em números
Usando A=1, B=2, ..., Z=26: G=7, A=1, T=20, O=15. Agrupamos em pares nas colunas de uma matriz \(2\times2\) (2 letras por coluna, na ordem em que aparecem):
\[M=\begin{pmatrix}7&1\\20&15\end{pmatrix}\]
(primeira coluna = "GA" → 7,20; segunda coluna = "TO" → 1,15 - cada coluna é um bloco de 2 letras.)
2. Confirme que a chave é utilizável
A chave é \(K=\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}\). Para poder decifrar depois, \(K\) precisa ser inversível, ou seja, \(\det K\neq0\):
\[\det K=3\cdot2-5\cdot1=6-5=1\neq0\;✓\]
Como o determinante é \(1\), a inversa de \(K\) terá frações "limpas" - bom sinal para a conta.
3. Cifre: \(C=K\cdot M\)
Multiplicando linha de \(K\) por coluna de \(M\):
\[c_{11}=3\cdot7+5\cdot20=21+100=121\]
\[c_{12}=3\cdot1+5\cdot15=3+75=78\]
\[c_{21}=1\cdot7+2\cdot20=7+40=47\]
\[c_{22}=1\cdot1+2\cdot15=1+30=31\]
\[C=\begin{pmatrix}121&78\\47&31\end{pmatrix}\]
A mensagem cifrada enviada é a sequência \((121,78,47,31)\).
4. Calcule \(K^{-1}\) para poder decifrar
Para uma matriz \(2\times2\) \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), a inversa é \(\frac{1}{\det K}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) (troca a diagonal principal, inverte o sinal da secundária, divide pelo determinante). Como \(\det K=1\):
\[K^{-1}=\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}\]
5. Decifre: \(M=K^{-1}\cdot C\)
\[c_{11}=2\cdot121+(-5)\cdot47=242-235=7\]
\[c_{12}=2\cdot78+(-5)\cdot31=156-155=1\]
\[c_{21}=-1\cdot121+3\cdot47=-121+141=20\]
\[c_{22}=-1\cdot78+3\cdot31=-78+93=15\]
\[M=\begin{pmatrix}7&1\\20&15\end{pmatrix}\]
Exatamente a matriz mensagem original - a decodificação recuperou os números \(7,1,20,15\), que voltam a ser G, A, T, O.
Padrão geralPADRÃO A Cifra de Hill é só multiplicação e inversão de matrizes aplicadas a texto. O ponto de prova mais cobrado é: \(K\) só serve como chave se \(\det K\neq0\) - sem isso, a mensagem não pode ser decifrada, pois \(K^{-1}\) não existe.
Resposta: mensagem "GATO" → \(M=\begin{pmatrix}7&1\\20&15\end{pmatrix}\) → cifrada com \(K\) → decifrada com \(K^{-1}\), recuperando \(M\) e portanto "GATO".
Exercícios extras (treino adicional)
Estes 7 exercícios não vêm do material original: foram criados para você treinar mais antes da prova. Mesma regra: tente sozinho antes de abrir o gabarito.
EXTRA Extra 1 - Inversa 2x2 direto
Calcule a inversa de \(A=\begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}\) por Gauss-Jordan.
Gabarito - Extra 1
1. Monte a ampliada e zere a coluna 1
\[[A|I]=\left[\begin{smallmatrix}3&4&|&1&0\\2&3&|&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
Para evitar frações cedo, use \(L_1\to L_1-L_2\) (já que \(3-2=1\), gera um pivô 1 sem dividir):
\[\left[\begin{smallmatrix}1&1&|&1&-1\\2&3&|&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
2. Zere abaixo do pivô
\(L_2\to L_2-2L_1\): \((2,3\,|\,0,1)-2\cdot(1,1\,|\,1,-1)=(0,1\,|\,-2,3)\)
\[\left[\begin{smallmatrix}1&1&|&1&-1\\0&1&|&-2&3\end{smallmatrix}\right]\]
3. Zere acima do pivô da coluna 2
\(L_1\to L_1-L_2\): \((1,1\,|\,1,-1)-(0,1\,|\,-2,3)=(1,0\,|\,3,-4)\)
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&|&3&-4\\0&1&|&-2&3\end{smallmatrix}\right]\]
Conferindo \(A\cdot A^{-1}\): linha 1 \([3,4]\) vezes coluna 1 \([3,-2]\) = \(9-8=1\); coluna 2 \([-4,3]\) = \(-12+12=0\). Linha 2 \([2,3]\) vezes coluna 1 = \(6-6=0\); coluna 2 = \(-8+9=1\). Confirma \(I_2\).
EXTRA Extra 2 - Inversa de matriz quase triangular
Calcule a inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}\).
Dica Como já é triangular superior com pivôs 1, você só precisa zerar acima da diagonal, começando pela última coluna.
Gabarito - Extra 2
1. Monte a ampliada
\[[A|I]=\left[\begin{smallmatrix}1&2&3&|&1&0&0\\0&1&4&|&0&1&0\\0&0&1&|&0&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
Todos os pivôs já são 1 e o bloco esquerdo já é triangular: só falta zerar acima da diagonal.
2. Zere a coluna 3 usando a linha 3
\(L_1\to L_1-3L_3\): \((1,2,3\,|\,1,0,0)-3\cdot(0,0,1\,|\,0,0,1)=(1,2,0\,|\,1,0,-3)\)
\(L_2\to L_2-4L_3\): \((0,1,4\,|\,0,1,0)-4\cdot(0,0,1\,|\,0,0,1)=(0,1,0\,|\,0,1,-4)\)
\[\left[\begin{smallmatrix}1&2&0&|&1&0&-3\\0&1&0&|&0&1&-4\\0&0&1&|&0&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
3. Zere a coluna 2 usando a linha 2
\(L_1\to L_1-2L_2\): \((1,2,0\,|\,1,0,-3)-2\cdot(0,1,0\,|\,0,1,-4)=(1,0,0\,|\,1,-2,5)\)
\[\left[\begin{smallmatrix}1&0&0&|&1&-2&5\\0&1&0&|&0&1&-4\\0&0&1&|&0&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
Padrão geralPADRÃO Matrizes triangulares com pivôs 1 são as mais rápidas de inverter: nunca é preciso trocar linhas nem dividir, só "subir" zerando de trás para frente.
EXTRA Extra 3 - Identificando uma matriz NÃO inversível
Verifique se \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\) é inversível.
Gabarito - Extra 3
1. Monte a ampliada e tente escalonar
\[[A|I]=\left[\begin{smallmatrix}1&2&|&1&0\\2&4&|&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
\(L_2\to L_2-2L_1\): \((2,4\,|\,0,1)-2\cdot(1,2\,|\,1,0)=(0,0\,|\,-2,1)\)
\[\left[\begin{smallmatrix}1&2&|&1&0\\0&0&|&-2&1\end{smallmatrix}\right]\]
2. Interprete o resultadoARMADILHA
A linha 2 do bloco esquerdo virou \((0,0)\): uma linha inteira nula. Isso significa que é impossível continuar reduzindo o bloco esquerdo até \(I_2\) - não existe pivô para a coluna 2 nessa linha. Pare aqui: a matriz não é inversível.
Padrão geralPADRÃO Repare que a linha 2 de \(A\) já era o dobro da linha 1 (\(2=2\cdot1\), \(4=2\cdot2\)): quando uma linha é múltipla de outra, a matriz nunca é inversível, e isso aparece no escalonamento como uma linha nula.
Resposta final: \(A\) não é inversível (linha nula aparece durante o escalonamento).
EXTRA Extra 4 - Inversa de matriz triangular inferior 3x3
Calcule a inversa de \(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&3&0\\4&-1&1\end{pmatrix}\).
Gabarito - Extra 4
1. Normalize o pivô da coluna 1
\(a_{11}=2\); \(L_1\to \tfrac12 L_1\): \((1,0,0\,|\,1/2,0,0)\)
2. Zere abaixo do pivô da coluna 1
\(L_2\to L_2-L_1\): \((1,3,0\,|\,0,1,0)-(1,0,0\,|\,1/2,0,0)=(0,3,0\,|\,-1/2,1,0)\)
\(L_3\to L_3-4L_1\): \((4,-1,1\,|\,0,0,1)-4\cdot(1,0,0\,|\,1/2,0,0)=(0,-1,1\,|\,-2,0,1)\)
3. Normalize o pivô da coluna 2 e zere abaixo
\(L_2\to \tfrac13 L_2\): \((0,1,0\,|\,-1/6,1/3,0)\)
\(L_3\to L_3+L_2\): \((0,-1,1\,|\,-2,0,1)+(0,1,0\,|\,-1/6,1/3,0)=(0,0,1\,|\,-13/6,1/3,1)\)
4. Coluna 3 já está pronta
O pivô da linha 3 já é 1 e não há nada acima dele nas colunas 1 e 2 para zerar nessa coluna (as posições \(a_{13}\) e \(a_{23}\) do bloco esquerdo já são 0, pois \(A\) era triangular inferior). O escalonamento termina aqui.
EXTRA Extra 5 - Verificação rápida por multiplicação
Mostre que \(B=\begin{pmatrix}1/7&2/7\\3/7&-1/7\end{pmatrix}\) é a inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}\).
Gabarito - Extra 5
EstratégiaPADRÃO A inversa já foi dada: basta multiplicar \(A\cdot B\) e checar se dá \(I_2\), sem escalonar nada.
Calculando \(A\cdot B\)
Linha 1 de \(A\) é \((1,2)\):
\[c_{11}=1\cdot\tfrac17+2\cdot\tfrac37=\tfrac17+\tfrac67=\tfrac77=1\]
\[c_{12}=1\cdot\tfrac27+2\cdot(-\tfrac17)=\tfrac27-\tfrac27=0\]
Linha 2 de \(A\) é \((3,-1)\):
\[c_{21}=3\cdot\tfrac17+(-1)\cdot\tfrac37=\tfrac37-\tfrac37=0\]
\[c_{22}=3\cdot\tfrac27+(-1)\cdot(-\tfrac17)=\tfrac67+\tfrac17=\tfrac77=1\]
Resposta final: \(A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2\), confirmando que \(B=A^{-1}\).
EXTRA Extra 6 - Usando a inversa para resolver um sistema
Resolva o sistema \(\begin{cases}2x+y=5\\x+y=3\end{cases}\) calculando \(A^{-1}\) e depois \(x=A^{-1}b\).
Gabarito - Extra 6
1. Escreva o sistema como \(Ax=b\)
\[A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\]
3. Calcule \(x=A^{-1}b\)
\[x=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot5+(-1)\cdot3\\-1\cdot5+2\cdot3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\]
Logo \(x=2\), \(y=1\).
4. Confira nas equações originais
\(2(2)+1=5\) ✓; \(2+1=3\) ✓.
Padrão geralPADRÃO Uma vez calculada \(A^{-1}\), qualquer sistema \(Ax=b\) com a mesma matriz de coeficientes se resolve só multiplicando \(A^{-1}\) pelo novo \(b\) - sem escalonar de novo.
Resposta final: \(x=2\), \(y=1\)
EXTRA Extra 7 - Reconhecimento rápido (sem contas)
Sem escalonar, explique por que \(C=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\4&5&6\end{pmatrix}\) não pode ser inversível.
Gabarito - Extra 7
Raciocínio direto
A linha 2 de \(C\) já é \((0,0,0)\), uma linha inteiramente nula, antes mesmo de começar qualquer operação. Operações elementares nunca "criam" um pivô numa linha que já é toda zero (multiplicar uma linha nula por qualquer escalar continua dando zero, e somar um múltiplo de outra linha a ela só reintroduz números de outra linha, nunca fabrica um pivô isolado na linha 2). Logo, é impossível reduzir \(C\) até a identidade.
Padrão geralPADRÃO Sempre que uma linha (ou coluna) inteira de zeros aparece na matriz original, ela já não é inversível - não é nem preciso montar a matriz ampliada. Reconhecer isso de cara economiza tempo de prova.
Resposta final: \(C\) não é inversível, pois já tem uma linha inteiramente nula.
Fim do Dia 2. Cronometre-se refazendo a Questão 2 (3×3) e ao menos 2 extras do zero antes de ir para o Dia 3 - Determinantes.