Guia P1 - Álgebra Linear MPA06855 · Plano de estudo de 3 dias

Dia 3 - Determinantes e Matriz Adjunta

Bloco de 2h + simulado geral. Meta: fechar os 3 tópicos e treinar sob tempo.

Teoria: Laplace e propriedades

PRÉ-REQUISITO Ordem 2: \(\det A=ad-bc\) para \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\). Para ordem ≥ 3, use cofatores: \(\Delta_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\) (\(A_{ij}\) = matriz sem a linha \(i\) e coluna \(j\)).

Desenvolvimento de Laplace pela linha \(i\): \[\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\Delta_{ij}\] Vale por qualquer linha ou coluna - escolha a com mais zeros para economizar contas.

Explicando bem devagar

Laplace "quebra" um determinante grande em vários determinantes menores. Se uma linha tem zeros, os termos com esses zeros somem da conta - por isso vale a pena escolher a linha/coluna "mais vazia".

PropriedadeConsequência
Linha nula\(\det A=0\)
Multiplicar linha por \(k\)\(\det\) multiplica por \(k\)
Trocar duas linhas\(\det\) troca de sinal
Transposta\(\det A^t=\det A\)
Produto\(\det(AB)=\det A\cdot\det B\)
Teorema-chave: \(A\) é invertível \(\iff\) \(\det A\neq0\). É a ponte entre os 3 dias de estudo.

Questão 1 - Laplace com escolha esperta de linha

Calcule \(\det A\) para \(A=\begin{pmatrix}1&5&0\\2&4&-1\\0&-2&0\end{pmatrix}\).
Dica A 3ª linha tem dois zeros - expanda por ela.

Matriz adjunta

Matriz de cofatores \(\overline{A}=[\Delta_{ij}]\). Adjunta: \(\operatorname{adj}A=\overline{A}^t\) (transposta dos cofatores - não confundir!).

Teorema central: \[A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A, \quad \text{válido se e somente se } \det A\neq0\]

ARMADILHA A adjunta é a transposta da matriz de cofatores, não a matriz de cofatores em si. Esse é o erro mais comum nessa questão.

Questão 2 - Adjunta e \(A\cdot\operatorname{adj}A\)

Para \(A=\begin{pmatrix}1&5&0\\2&4&-1\\0&-2&0\end{pmatrix}\) (mesma da Q1, \(\det A=-2\)), determine \(\operatorname{adj}A\) e calcule \(A\cdot\operatorname{adj}A\).

Regra de Cramer

Para \(Ax=b\) com \(A\) quadrada e \(\det A\neq0\): \(x_i=\dfrac{\det A_i}{\det A}\), onde \(A_i\) é \(A\) com a coluna \(i\) trocada por \(b\).

ARMADILHA Só funciona se o sistema for quadrado (nº equações = nº incógnitas) e \(\det A\neq0\). Troque a coluna certa - errar a coluna é o erro mais comum.

Questão 3 - Sistema por Cramer

Resolva pela Regra de Cramer: \(\begin{cases}2x+y-z=3\\x-y+2z=4\\3x+2y+z=10\end{cases}\)

Desafio final (exercício em aberto no material)

Questão desafio - matriz 4×4

\(A=\begin{pmatrix}2&-8&6&8\\3&-9&5&10\\-3&0&1&-1\\1&-4&0&6\end{pmatrix}\). (a) \(A\) é inversível? (b) Se for, calcule \(A^{-1}\).

Exercícios extras (treino adicional)

Estes 7 exercícios não vêm do material original: foram criados para você treinar mais antes da prova. Mesma regra: tente sozinho antes de abrir o gabarito.

EXTRA Extra 1 - Determinante 2x2 direto

Calcule \(\det A\) para \(A=\begin{pmatrix}5&3\\2&4\end{pmatrix}\).

EXTRA Extra 2 - Laplace escolhendo a coluna certa

Calcule \(\det A\) para \(A=\begin{pmatrix}2&0&1\\3&1&0\\-1&0&4\end{pmatrix}\).
Dica Observe a coluna 2: só tem um número diferente de zero.

EXTRA Extra 3 - Propriedade \(\det(kA)\)

Sabendo que \(A\) é uma matriz \(3\times3\) com \(\det A=5\), calcule \(\det(2A)\).

EXTRA Extra 4 - Adjunta 2x2 e inversa

Para \(A=\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}\), calcule \(\operatorname{adj}A\) e depois \(A^{-1}\) usando \(A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A\).

EXTRA Extra 5 - Adjunta 3x3 completa

Para \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&3&1\\4&0&1\end{pmatrix}\), calcule todos os cofatores, monte \(\operatorname{adj}A\) e confirme com \(A\cdot\operatorname{adj}A=(\det A)I_3\).

EXTRA Extra 6 - Cramer com sistema 2x2

Resolva pela Regra de Cramer: \(\begin{cases}3x+2y=7\\x-y=1\end{cases}\)

EXTRA Extra 7 - Determinante zero sem contas

Sem calcular cofatores, explique por que \(\det\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&-1\end{pmatrix}=0\).

Checklist final pré-prova

✔Item
☐Sei fazer \(AB\) e explicar por que \(AB\neq BA\) em geral
☐Sei aplicar \((AB)^t=B^tA^t\)
☐Sei calcular \(A^{-1}\) por Gauss-Jordan em 2×2 e 3×3 sem erro de sinal
☐Sei calcular \(\det A\) por Laplace escolhendo a linha/coluna com mais zeros
☐Sei montar a matriz de cofatores e transpor para achar a adjunta
☐Sei usar \(A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A\)
☐Sei aplicar Cramer trocando a coluna certa
☐Tentei a questão desafio 4×4 sem consultar o gabarito antes
Fim do plano de 3 dias. Revise o mapa mental do início na manhã da prova.