Dia 1 - Matrizes
Bloco de 2h. Meta: dominar operações e a armadilha nº1 da prova - a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Teoria: definições e tipos
PRÉ-REQUISITO Uma matriz \(A\) de ordem \(m\times n\) é uma tabela \(A=[a_{ij}]\), onde \(a_{ij}\) é o elemento na linha \(i\), coluna \(j\). Duas matrizes só são iguais se têm a mesma ordem e os mesmos elementos em cada posição.
Explicando bem devagar
Pense numa matriz como uma planilha de Excel: \(m\) é o número de linhas, \(n\) o número de colunas. \(a_{23}\) é a célula na linha 2, coluna 3 - nessa ordem, sempre "linha primeiro".
| Tipo | Definição |
|---|---|
| Nula | \(a_{ij}=0\) para todo \(i,j\) |
| Quadrada | \(m=n\) |
| Diagonal | quadrada, \(a_{ij}=0\) para \(i\neq j\) |
| Identidade \(I_n\) | diagonal com \(a_{ii}=1\) |
| Triangular superior | quadrada, \(a_{ij}=0\) para \(i>j\) |
| Triangular inferior | quadrada, \(a_{ij}=0\) para \(i |
Operações básicas
Soma: só existe entre matrizes de mesma ordem. \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\).
Escalar: \(B=\alpha A \Rightarrow b_{ij}=\alpha\, a_{ij}\). Ex.: \(2\begin{pmatrix}1&3\\0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&6\\0&-4\end{pmatrix}\).
Escalar: \(B=\alpha A \Rightarrow b_{ij}=\alpha\, a_{ij}\). Ex.: \(2\begin{pmatrix}1&3\\0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&6\\0&-4\end{pmatrix}\).
Multiplicação \(AB\): só é definida se o número de colunas de \(A\) = número de linhas de \(B\). Se \(A_{m\times p}\) e \(B_{p\times n}\), então \(AB\) é \(m\times n\): \[c_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}\]
ARMADILHA CLÁSSICA A multiplicação de matrizes NÃO é comutativa: \(AB\neq BA\) em geral. Pior: \(BA\) pode nem existir, mesmo que \(AB\) exista (se o nº de colunas de \(B\) ≠ nº de linhas de \(A\)).
Transposta \(A^t\): troca linhas por colunas.
Propriedades importantes
| Soma | Transposta |
|---|---|
| \(A+B=B+A\) | \((A^t)^t=A\) |
| \((A+B)+C=A+(B+C)\) | \((A+B)^t=A^t+B^t\) |
| \(\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B\) | \((AB)^t=B^tA^t\) inverte a ordem! |
Inversa (aprofundado no Dia 2): se \(A\) é invertível, a inversa é única, \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\), \((A^{-1})^{-1}=A\), \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\).
Questão 1 - Multiplicação de matrizes
Dadas \(A=\begin{pmatrix}3&0\\2&1\\0&1\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\), calcule \(AB\).
O que o enunciado dá \(A\) é \(3\times2\), \(B\) é \(2\times2\). Colunas de \(A\) (2) = linhas de \(B\) (2) → produto \(AB\) existe e será \(3\times2\).
Questão 2 - Quando \(BA\) não existe
Dadas \(A=\begin{pmatrix}2&3\\1&-5\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}4&3&6\\1&-2&3\end{pmatrix}\), calcule \(AB\) e verifique se \(BA\) existe.
Cuidado ARMADILHA Antes de multiplicar, sempre confira as ordens: \(A\) é \(2\times2\), \(B\) é \(2\times3\).
Questão 3 - Equação matricial com transposta e inversa
Considere \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}\). (1) Verifique que \(A=A^{-1}\). (2) Resolva a equação matricial \((AX)^t=B\).
Essa questão costuma travar por juntar transposta e inversa na mesma equação. Se você não sabe por onde começar, veja primeiro o método passo a passo para isolar X em equações matriciais antes de abrir o gabarito.
Exercícios extras (treino adicional)
Estes 7 exercícios não vêm do material original: foram criados para você treinar mais antes da prova. Mesma regra: tente sozinho antes de abrir o gabarito.
EXTRA Extra 1 - Soma de matrizes
Calcule \(A+B\) para \(A=\begin{pmatrix}2&-1\\3&4\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}1&5\\-2&0\end{pmatrix}\).
EXTRA Extra 2 - Combinação com escalar
Calcule \(3A-2B\) para \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\).
EXTRA Extra 3 - Multiplicação 2x3 por 3x2
Calcule \(AB\) para \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&-1\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\\-1&4\end{pmatrix}\).
EXTRA Extra 4 - E o \(BA\) da questão anterior?
Usando as mesmas \(A\) e \(B\) do Extra 3, calcule \(BA\) e compare o tamanho do resultado com \(AB\).
EXTRA Extra 5 - Verificando \((AB)'=B'A'\)
Para \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}\), calcule \((AB)^t\) e \(B^tA^t\) separadamente e confirme que são iguais.
EXTRA Extra 6 - Classificando uma matriz
Classifique a matriz \(M=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&-2&0\\0&0&5\end{pmatrix}\): ela é diagonal? Triangular superior? Triangular inferior?