Passo a passo - Dia 2 (Matrizes Inversíveis)
O método de Gauss-Jordan é sempre o mesmo roteiro fixo, mudando só o tamanho da matriz. Aprenda o roteiro aqui, com um exemplo novo, antes de ir para os exercícios.
Se você já entendeu o Gauss-Jordan, pode pular direto para os exercícios do Dia 2. Esta página é para quem quer ver o raciocínio geral explicado devagar, com os pontos de atenção destacados em cada etapa.
O roteiro fixo do Gauss-Jordan
Para achar \(A^{-1}\), você monta a matriz ampliada \([A\,|\,I]\) e aplica operações de linha até o bloco esquerdo virar a identidade. O bloco direito, que começou como \(I\), termina sendo \(A^{-1}\). O roteiro sempre segue esta ordem, coluna por coluna, da esquerda para a direita:
Etapa A: consiga um pivô 1 na coluna atual
Olhe a posição da diagonal na coluna que você está trabalhando. Se já for 1, ótimo. Se for outro número diferente de zero, divida a linha inteira por esse número. Se for 0, troque essa linha com outra abaixo dela que tenha um número diferente de zero na mesma coluna.
Etapa B: zere todo o resto da coluna
Use a linha do pivô para zerar todas as OUTRAS linhas nessa coluna (tanto abaixo quanto acima), fazendo \(L_i \to L_i - (\text{elemento a zerar})\times L_{\text{pivô}}\).
Etapa C: repita para a próxima coluna
Passe para a coluna seguinte e repita as etapas A e B. Continue até todas as colunas do bloco esquerdo terem sido processadas.
ARMADILHA Muita gente tenta zerar tudo de uma vez, misturando colunas. Sempre termine UMA coluna por completo (pivô 1 e todos os outros valores da coluna zerados) antes de passar para a próxima - isso evita perder o controle da conta.
Exemplo guiado completo (3x3, diferente dos exercícios do Dia 2)
Exemplo: calcule \(A^{-1}\) para \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&3\\1&-1&1\end{pmatrix}\)
1. Monte a matriz ampliada
\[[A|I]=\left[\begin{smallmatrix}1&1&1&|&1&0&0\\2&1&3&|&0&1&0\\1&-1&1&|&0&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
A coluna 1 já tem pivô 1 na linha 1 - ótimo, vamos usá-la para zerar as demais.
2. Coluna 1: zere as linhas 2 e 3
\(L_2\to L_2-2L_1\): \((2,1,3\,|\,0,1,0)-2\cdot(1,1,1\,|\,1,0,0)=(0,-1,1\,|\,-2,1,0)\)
\(L_3\to L_3-L_1\): \((1,-1,1\,|\,0,0,1)-(1,1,1\,|\,1,0,0)=(0,-2,0\,|\,-1,0,1)\) \[\left[\begin{smallmatrix}1&1&1&|&1&0&0\\0&-1&1&|&-2&1&0\\0&-2&0&|&-1&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
\(L_3\to L_3-L_1\): \((1,-1,1\,|\,0,0,1)-(1,1,1\,|\,1,0,0)=(0,-2,0\,|\,-1,0,1)\) \[\left[\begin{smallmatrix}1&1&1&|&1&0&0\\0&-1&1&|&-2&1&0\\0&-2&0&|&-1&0&1\end{smallmatrix}\right]\]
3. Coluna 2: consiga o pivô 1 ARMADILHA
O pivô da linha 2 é \(-1\), não \(1\). Multiplique a linha inteira por \(-1\) (não esqueça de aplicar em TODOS os números da linha, inclusive do lado direito):
\(L_2\to -L_2\): \((0,1,-1\,|\,2,-1,0)\)
4. Coluna 2: zere as outras linhas
\(L_1\to L_1-L_2\): \((1,1,1\,|\,1,0,0)-(0,1,-1\,|\,2,-1,0)=(1,0,2\,|\,-1,1,0)\)
\(L_3\to L_3+2L_2\): \((0,-2,0\,|\,-1,0,1)+2\cdot(0,1,-1\,|\,2,-1,0)=(0,0,-2\,|\,3,-2,1)\) \[\left[\begin{smallmatrix}1&0&2&|&-1&1&0\\0&1&-1&|&2&-1&0\\0&0&-2&|&3&-2&1\end{smallmatrix}\right]\]
\(L_3\to L_3+2L_2\): \((0,-2,0\,|\,-1,0,1)+2\cdot(0,1,-1\,|\,2,-1,0)=(0,0,-2\,|\,3,-2,1)\) \[\left[\begin{smallmatrix}1&0&2&|&-1&1&0\\0&1&-1&|&2&-1&0\\0&0&-2&|&3&-2&1\end{smallmatrix}\right]\]
5. Coluna 3: consiga o pivô 1
\(L_3\to -\tfrac12 L_3\): \((0,0,1\,|\,-3/2,1,-1/2)\)
6. Coluna 3: zere as outras linhas
\(L_1\to L_1-2L_3\): \((1,0,2\,|\,-1,1,0)-2\cdot(0,0,1\,|\,-3/2,1,-1/2)=(1,0,0\,|\,2,-1,1)\)
\(L_2\to L_2+L_3\): \((0,1,-1\,|\,2,-1,0)+(0,0,1\,|\,-3/2,1,-1/2)=(0,1,0\,|\,1/2,0,-1/2)\) \[\left[\begin{smallmatrix}1&0&0&|&2&-1&1\\0&1&0&|&1/2&0&-1/2\\0&0&1&|&-3/2&1&-1/2\end{smallmatrix}\right]\] O bloco esquerdo é \(I_3\) - terminamos!
\(L_2\to L_2+L_3\): \((0,1,-1\,|\,2,-1,0)+(0,0,1\,|\,-3/2,1,-1/2)=(0,1,0\,|\,1/2,0,-1/2)\) \[\left[\begin{smallmatrix}1&0&0&|&2&-1&1\\0&1&0&|&1/2&0&-1/2\\0&0&1&|&-3/2&1&-1/2\end{smallmatrix}\right]\] O bloco esquerdo é \(I_3\) - terminamos!
7. Confira multiplicando \(A\cdot A^{-1}\)
Linha 1 de \(A=(1,1,1)\) vezes coluna 1 de \(A^{-1}\) \((2,1/2,-3/2)\): \(2+0.5-1.5=1\); vezes coluna 2 \((-1,0,1)\): \(-1+0+1=0\); vezes coluna 3 \((1,-1/2,-1/2)\): \(1-0.5-0.5=0\). Linha 1 do produto = \((1,0,0)\), confere com \(I_3\). (As linhas 2 e 3 seguem o mesmo padrão de conferência.)
Resposta final do exemplo: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1&1\\1/2&0&-1/2\\-3/2&1&-1/2\end{pmatrix}\)
Erros mais comuns (revise antes de praticar)
| Erro | Como evitar |
|---|---|
| Esquecer de aplicar a operação também no bloco direito | Trate a linha inteira (os dois blocos) como um só objeto - toda operação afeta a linha completa |
| Trocar de coluna antes de terminar a atual | Só passe para a próxima coluna quando o pivô estiver em 1 e todo o resto da coluna estiver zerado |
| Erro de sinal ao subtrair uma linha negativa | Escreva a subtração termo a termo antes de simplificar, como nos exemplos acima, em vez de fazer de cabeça |
| Não perceber que a matriz não é inversível | Se uma linha inteira do bloco esquerdo virar zero, pare: a matriz não tem inversa |
Agora tente sozinho
Você acabou de ver o roteiro completo aplicado numa matriz \(3\times3\) nova. Volte para o Dia 2 e aplique o mesmo roteiro na Questão 1 (mais simples, \(2\times2\)) antes de avançar para as questões maiores.